Основатель школы Федор Борисович Смирнов
Сегодня мой ученик принес задачи с конкурса по математике, и на занятиях мы разобрали решения некоторых из них.
Задача №3 (6-11 классы).
Условие. Имеется 36 борцов. У каждого некоторый уровень силы, и более сильный всегда побеждает более слабого, а равные по силе сводят поединок вничью.
Вопрос. Всегда ли этих борцов можно разбить на пары так, что все победители в парах будут не слабее, чем все те, кто сделал ничью или проиграл, а все сделавшие ничью будут не слабее всех тех, кто проиграл?
Решение. Расставим борцов по порядку возрастания силы: В1<=B2<=B3<= … <=B36. Точнее, в порядке неубывания.
Разобьем на пары: В1 поставим бороться с В36, В2 с В35, … , Вi с B(37-i), …, В18 с В19. По-другому каждую пару можно задать так: В(18-k) и В(19+k), где k от 0 до 17.
Вариант 1. Среди борцов есть равные по силе и есть неравные.
Найдем крайнюю пару, которая поборолась вничью. Пусть это будет пара Вi с B(37-i). Тогда все борцы с номерами, заключенными между i и 37-i, должны быть равны им по силе (напомню, борцы упорядочены по неубыванию). И все борцы в этом интервале поборолись с ничейным результатом. Тогда победители – это борцы с номерами от i+1 до 36, и они сильнее всех проигравших (от 1 до i-1) и всех «ничейников» (от i до 37-i).
В свою очередь, все сделавшие ничью (от i до 37-i) сильнее проигравших (от 1 до i-1).
Вариант 2. Среди борцов нет равных по силе.
Тогда любой победитель имеет номер В(19+k) и он явно сильнее проигравших, номера которых выглядят как В(18-q). Сделавших ничью в этом варианте нет.
Вариант 3. Все борцы равны по силе.
Тогда победителей нет, у всех – ничья. Следовательно, сделавшие ничью не слабее проигравших (которых просто нет).
Ответы на другие задачи выложу позже.
… Получил от одного из участников турнира письмо с просьбой найти ошибку в его решении задачи про борцов. Разбор ошибки — здесь.
Этот текст вы считаете полезным?
Я буду признателен, если вы отправите ссылку знакомым — тем, кому может пригодиться информация о подготовке к поступлению в сильные школы и к участию в математических олимпиадах
— —
