Основатель школы Федор Борисович Смирнов
По следам публикации «Турнир имени Ломоносова – 2013 г. Математика. Решение задачи про борцов» получил письмо. Один из участников турнира тоже решал задачу про борцов. И просит разобрать приведенный контрпример — в чем и где там ошибка. Привожу само письмо и мой ответ
Здравствуйте! Вы на своём сайте выложили решение задачи про борцов с Турнира Ломоносова. Я тоже в нём участвовал. Скажите, пожалуйста, а что если вы рассмотрели только частный случай, поставив бороться 1 с 36, 2 с 35 и т.д.?
Вот чем, например, неверен мой контрпример, который я привёл?
Расставим борцов по возрастанию силы (как в это и сделали). Пусть у нас нет борцов, сыгравших в ничью. Поставим бороться второго борца с первым, четвертого с третим и т.д. Очевидно, второй выиграет первого, четвёртый выиграет третьего и т.д. И заметим, что каждый победитель в паре слабее каждого следующего проигравшего. То есть, очевидно, второй (побеитель в первой паре) слабее третьего, который проиграл во второй паре; четвёртый (победитель во второй паре) слабее пятого (проигравшего в третьей паре) и т.д. А все сделавшие ничью, очевидно, слабее всех проигравших, т.к. ничейников просто напросто нет. Выходит в моём примере условие не выполнено, и ответ «не всегда можно так сделать».
Пожалуйста, скажите, в чём моя ошибка, если я неправ?
Мой ответ
Здравствуйте!
Вопрос задачи — всегда ли можно разбить борцов на пары, чтобы выполнялось требуемое условие. Другими словами, нужно найти алгоритм разбиения независимо от того, какая сила у каждого борца в каждом конкретном случае. Или привести пример такого сочетания значений силы, при котором разбить на пары нужным образом нельзя.
В своем решении я доказал, что независимо от конкретных значений силы нужное разбиение можно сделать. И привел правило, по которому борцов нужно разбивать на пары (может быть, существуют и другие способы, ведущие к нужному результату). Мое правило работает для любых значений силы, для любых комбинаций.
Вы же рассмотрели иное разбиение на пары и увидели, что в вашем случае требуемое условие задачи не выполняется. Но это лишь доказывает тот факт, что существует проигрышное разбиение. И никоим образом не доказывает, что любые другие разбиения не приведут к нужному результату.
Поясню на другом примере. Он более нагляден и проще для понимания.
Рассмотрим задачу: «Всегда ли четное число N можно разбить на два нечетных?»
Я говорю «всегда» и привожу правило разбиения: N-1 и 1. Оба числа — нечетные. А вы приводите другое разбиение: N-2 и 2, оба четные. И из этого делаете вывод: «не всегда». Что, разумеется, неправильно.
С уважением и пожеланиями успехов в покорении математических вершин,
ФБ
