Основатель школы Федор Борисович Смирнов
Сердитый Карабас
«Кто съел мою любимую ириску?!!!» — заметив пропажу, грозно взревел Карабас Барабас. Дуремар испуганно прошептал: «Не я…». Кот Базилио громко крикнул, что это Алиса. А лиса Алиса прошипела, что конфету слопал Дуремар. Кто украл ириску, если только один из них соврал? (4-5 класс).
Решение.
Предположение 1. Если соврал Дуремар, значит, конфету съел он. А двое других говорят правду. Но это невозможно, поскольку Базилио, обвиняя Алису, врет. Значит, предположение, что соврал Дуремар, ошибочное.
Предположение 2. Допустим, соврал кот Базилио, а Дуремар с Алисой сказали правду. Но раз Дуремар не врет, значит, конфету съел не он. Но тогда Алиса, обвиняя Дуремара, врет. Значит, и предположение, что Базилио врун, неверное.
Предположение 3. Остается проверить случай, когда соврала Алиса. Дуремар говорит правду (не он), Базилио говорит правду (Алиса съела), а лиса врет. Все сходится.
Таким образом мы нашли единственно возможный случай, удовлетворяющий условию. И ответ – лиса Алиса.
Носки Пьеро
В шкафу у Пьеро свалены в кучу 12 пар белых и 10 пар черных носков. Пьеро вынимает один носок за другим – с закрытыми глазами. Сколько носков он должен вынуть, чтобы надеть пару одного (любого) цвета? Белого цвета? Черного цвета? (4-5 класс)
Решение.
Типичная задача на принцип Дирихле. Три носка – среди них обязательно будет два одного цвета. Далее рассматриваем наихудшие сценарии. Чтобы составить пару именно белого цвета придется исходить из худшего варианта, что сначала попадутся черные носки. Черных носков 20, так что 22 носка будет достаточно, чтобы гарантированно получить белую пару. Для черной пары придется достать 26 носков – 24 белых и еще 2 уже черных.
Перчатки Мальвины
В комоде у Мальвины 5 пар красных перчаток, 6 пар черных и 8 пар белых. Мальвина попросила Пьеро достать ей любую пару перчаток. Пьеро по привычке закрыл глаза и сунул руку в комод. Сколько перчаток он должен вынуть, чтобы гарантированно принести Мальвине перчатки одного (любого) цвета? Белые перчатки? Красные перчатки? (4-5 класс)
Решение
Задача похожа на предыдущую, однако две перчатки одного цвета могут не составить пару, если они на одну руку. Так что в худшем сценарии Пьеро вытащит все перчатки на левую руку – их 5+6+8=19. Двадцатая перчатка будет уже парной. Чтобы гарантировать пару белого цвета, придется сначала достать все черные и красные перчатки на вторую руку – их 11. Так что 19+11+1=31, и именно тридцать первая перчатка наверняка обеспечит нам белую пару. Для красной пары придется достать 19+6+8+1=34 перчатки.
В зрительном зале
Докажите, что на любом спектакле кукольного театра среди зрителей всегда есть хотя бы двое, имеющие равное количество знакомых в зрительном зале. (5-7 класс)
Решение.
Еще одна задача на принцип Дирихле. Вспомним аналогию «зайцы» и «клетки». В N-1 клетку нельзя разместить N зайцев так, чтобы в каждой клетке было не более 1 зайца. Что у нас в данном случае «клетки»? Конечно, клетки с табличкой «число знакомых». Если в зале N зрителей («зайцев»), то клеток тоже будет N – от 0 (совсем нет знакомых) до N-1 (знаком со всеми остальными, а их как раз N-1). Казалось бы, зайцев и клеток поровну. Но! Клетка «0» не может быть занята одновременно с клеткой «N-1», ведь если есть человек, у которого в зале нет знакомых, то не может быть зрителя, знакомого со всеми остальными. И наоборот.
Таким образом, клеток у нас не более N-1, а зрителей N. Так что в какой-то «клетке» обязательно будет не менее 2 «зайцев», имеющих одинаковое число знакомых (возможно, равное нулю).
В буфете
В буфете кукольного театра Пьеро заплатил 2 золотых монеты за мороженое и 2 пирожных. А Мальвина заплатила 5 золотых монет за 3 мороженых и 4 пирожных. Сколько пирожных сможет купить Буратино на 3 золотые монеты? (4 класс)
Решение.
1 мор. + 2 пир. = 2 монеты
3 мор. + 4 пир. = 5 монет
Умножим первую покупку на три и сравним со второй. Получим, что 2 пирожных стоит 1 монету. Так что Буратино сможет купить 6 пирожных.
За Золотым ключиком
Папа Карло, Буратино и Пьеро в разное время стартовали на велосипедах от кукольного театра в сторону далекого болота за Золотым ключиком. В тот момент, когда Буратино и Пьеро поравнялись, папа Карло отставал от них на 12 км. А когда папа Карло догнал Буратино, Пьеро отстал от них на 6 км. На сколько километров Буратино опережал Пьеро, когда того нагнал Папа Карло? (6-7 класс)
Решение.
Подсказка репетитора по математике. Для решения желательно вспомнить с учениками принцип относительности движения. Ученикам 6 класса можно рассказать о нем, используя пример с плотом и моторной лодкой, которые плывут по реке по и против течения. Ученики 7 класса по идее уже должны быть знакомы с этим принципом.
Для решения данной задачи будем рассматривать движение относительно самого медленного велосипедиста.
Шаг 1. Определим, кто из велосипедистов самый быстрый, а кто – самый медленный. Самый быстрый – папа Карло, который сначала отставал ото всех, а потом догнал Пьеро и Буратино. Самый медленный – Пьеро, потому что он отстал от Буратино.
Шаг 2. Определим, кто из велосипедистов находился где в каждый значимый момент.
Момент А. Буратино и Пьеро в одной точке, папа Карло отстает от них на 12 км.
Момент Б. Папа Карло и Буратино в одной точке, Пьеро отстал от них на 6 км.
Момент В (вопрос задачи). Папа Карло догнал Пьеро, Буратино еще где-то впереди (нужно узнать, на сколько км).
Понятно, что по времени Момент В находится между Моментом А и Моментом Б (Папа Карло отставал, затем нагнал Пьеро и после нагнал Буратино).
Шаг 3. Рассмотрим движение всех велосипедистов относительно самого медленного, Пьеро, т.е. будем считать, что Пьеро стоит на месте, папа Карло движется к нему, а Буратино движется от него (но медленнее, чем папа Карло).
За время с Момента А до Момента Б папа Карло «проехал» 12+6=18 км, а Буратино «проехал» 6 км. (Пишу «проехал» в кавычках, т.к. мы рассматриваем не путь велосипедиста, а изменение расстояния относительно Пьеро). Соответственно, к Моменту В папа Карло «проехал» 12 км, а Буратино — всего 12:18х6= 4 км.
Ответ: 4 км
Реплика про носки.
В каких носках – белых или черных – был Пьеро, когда его догнал папа Карло? Если предположить, что Пьеро надел одноцветную пару, которую наугад вытащил из шкафа, вероятность белых носков равна 12/22, т.е. больше половины.
— — — — —
Приглашаю школьников 3-6 классов в мой математический кружок в Новых Черемушках. На занятиях мы решаем подобные задачи, готовимся к математическим олимпиадам и к поступлению в математические гимназии и лицеи. Занятия проходят 1 раз в неделю, по субботам. Подробнее.
