Ежедневная олимпиадная задача с решением – 19 октября

Условие задачи.

В школе 350 учеников и 175 парт. Ровно половина девочек сидит за одной партой с мальчиками. Можно ли пересадить учеников так, чтобы ровно половина  мальчиков сидела за одной партой с девочками?

Эта задача предлагалась 8-классникам на заочной математической олимпиаде им. А.А. Леманского 19-27 октября 2012 года.

Решение задачи.

Из условия задачи следует, что в школе все парты заняты и свободных мест нет. И за каждой партой сидят девочка с мальчиком, либо девочка с девочкой, либо мальчик с мальчиком.

По условию, половина девочек сидят с мальчиками. Рассмотрим вторую половину девочек, которые сидят друг с другом.

Пусть они занимают N парт, значит, половина девочек составляет 2N. Тогда общее число девочек = 4N. Т.е. количество девочек делится на 4.

Предположим, что мы можем пересадить мальчиков нужным образом. И после пересадки ровно половина мальчиков будет сидеть с девочками. Тогда, рассуждая аналогично, мы получаем, что число мальчиков должно составлять 4М. Т.е и количество мальчиков должно делиться на 4.

Но тогда и общее число учеников (мальчики + девочки) будет делиться на 4. А по условию их 300, что на 4 не делится.

Значит, наше предположение о возможности пересадить мальчиков неверно.

Ответ: мальчиков пересадить нельзя.

Для тех, кто не знает: подобный метод решения называется «от противного». Мы делаем предположение и путем цепочки рассуждений приходим к логическому противоречию. Тем самым доказывая, что наше предположение неверно.

 Похожие задачи для математического кружка

Вариант для 6-7 классов.

В классе 30 учеников и 15 парт. Учительница рассадила детей так, что ровно половина девочек сидит за одной партой с мальчиками. За остальными партами сидят либо по две девочки, либо по два мальчика. Смогут ли дети пересесть так, чтобы ровно половина мальчиков сидела с девочками? А если бы в классе было 16 парт и 32 ученика?

Вариант для 5-6 классов.

У Маши есть 10 красных и зеленых яблок, которые она разложила на 5 тарелочек, по два яблока на каждую. Оказалось, что ровно половина красных яблок лежит на тарелочках вместе с зелеными. Может ли Маша переложить яблоки по-другому: так, чтобы половина зеленых лежала вместе с красными.

Рассмотри разные случаи (когда красных яблок 1, 2. 3 и т.д.). Определи закономерность. Сделай вывод.

Сможет ли Маша переложить яблоки, если изначально их было 12?