Основатель школы Федор Борисович Смирнов
Условие задачи.
Квадратный трехчлен f(х) имеет ровно один корень. Кроме того, уравнение f(2х — 3) + f(3х + 1) = 0 имеет ровно один корень. Найти корень трехчлена (приведите все варианты).
Эта задача предлагалась ученикам 9 класса на заочной окружной математической олимпиаде им. А.А. Леманского осенью 2012 года.
Решение задачи.
Если квадратный трехчлен имеет единственный корень, это означает, что график функции имеет единственное пересечение с осью х (касание). Причем «рога» параболы направлены либо вверх (и тогда для любых х, кроме корня, все значения функции положительны), либо вниз (и тогда для любых х, кроме корня, все значения функции отрицательны). На рисунке это правый и левый варианты параболы.
Уравнение f(2х — 3) + f(3х + 1) = 0 по условию имеет ровно один корень. Но если все значения функции неотрицательны (правый вариант) или неположительны (левый вариант), то в сумме два значения могут равняться нулю, лишь когда каждое значение по отдельности равно нулю.
Отсюда имеем: f(2х — 3) = 0 и f(3х + 1) = 0.
Но у функции f(х) существует всего один корень, при котором функция имеет нулевое значение. Отсюда получаем, что 3х + 1 = 2х — 3 (иначе функция превращалась бы в 0 при двух разных значениях аргумента, а это означает, что у нее два корня).
Решаем простенькое уравнение 3х + 1 = 2х — 3 и получаем х = -4.
Ответ: х = -4
UPDATE. А вот и нет! Спасибо маме моего ученика, которая не поленилась написать мне о моей ошибке.
Действительно, f(2х — 3) = 0 и f(3х + 1) = 0 при х = -4. Вычислим значение аргумента: 2х — 3 = 3х + 1 = -11. Таким образом, f(-11) = 0 , поэтому
правильный ответ: х = -11
Репетитор по математике не только поможет вашему ребенку подготовиться к ЕГЭ и ГИА, но и научит решать подобные олимпиадные задачи.
Вам была полезна эта страница? Покажите ее своим знакомым и друзьям!
Я буду признателен, если вы отправите ссылку знакомым — тем, кому может пригодиться информация о подготовке к поступлению в сильные школы и к участию в математических олимпиадах
— —
Приглашение в математический кружок в Новых Черемушках
Ваш ребенок учится в 4 классе? Вы планируете поступать в хорошую гимназию? Математический кружок в Новых Черемушках — хороший способ подготовить ребенка ко вступительным экзаменам, а также к участию в математических олимпиадах. Подробнее о кружке и о занятиях.
