FB130 Репетитор по математике Федор Борисович Смирнов e-mail: repetitorFB@gmail.com

Готовлю к поступлению в 5 класс

Сильные школы ЮЗАО
Сильные школы ЗАО
Сильные школы СВАО
Сильные школы ЮАО

Турнир имени Ломоносова – 2013 г. Математика. Решение задачи про борцов.

Сегодня мой ученик принес задачи с конкурса по математике, и на занятиях мы разобрали решения некоторых из них.

Задача №3 (6-11 классы).

Условие. Имеется 36 борцов. У каждого некоторый уровень силы, и более сильный всегда побеждает более слабого, а равные по силе сводят поединок вничью.

Вопрос. Всегда ли этих борцов можно разбить на пары так, что все победители в парах будут не слабее, чем все те, кто сделал ничью или проиграл, а все сделавшие ничью будут не слабее всех тех, кто проиграл?

Решение. Расставим борцов по порядку возрастания силы: В1<=B2<=B3<= … <=B36. Точнее, в порядке неубывания.

Разобьем на пары: В1 поставим бороться с В36, В2 с В35, … , Вi с B(37-i), …, В18 с В19. По-другому каждую пару можно задать так: В(18-k) и В(19+k), где k от 0 до 17.

Вариант 1. Среди борцов есть равные по силе и есть неравные.

Найдем крайнюю пару, которая поборолась вничью. Пусть это будет пара Вi с B(37-i). Тогда все борцы с номерами, заключенными между i и 37-i, должны быть равны им по силе (напомню, борцы упорядочены по неубыванию). И все борцы в этом интервале поборолись с ничейным результатом. Тогда победители – это борцы с номерами от i+1 до 36, и они сильнее всех проигравших (от 1 до i-1) и всех «ничейников» (от i до 37-i).

В свою очередь, все сделавшие ничью (от i до 37-i) сильнее проигравших (от 1 до i-1).

Вариант 2. Среди борцов нет равных по силе.

Тогда любой победитель имеет номер В(19+k) и он явно сильнее проигравших, номера которых выглядят как В(18-q). Сделавших ничью в этом варианте нет.

Вариант 3. Все борцы равны по силе.

Тогда победителей нет, у всех – ничья. Следовательно, сделавшие ничью не слабее проигравших (которых просто нет).

Ответы на другие задачи выложу позже.

Получил от одного из участников турнира письмо с просьбой найти ошибку в его решении задачи про борцов.  Разбор ошибки — здесь.

Этот текст вы считаете полезным?

Я буду признателен, если вы отправите ссылку знакомым — тем, кому может пригодиться информация о подготовке к поступлению в сильные школы и к участию в математических олимпиадах

— —

Задания, которые выполняют мои ученики

Мы в Facebook

полоска присоединяйтесь
Добавляйтесь в друзья в Facebook. Матшкола Смирнова Заходите на страницу Школы в Facebook www.facebook.com/repetitorFedorSmirnovполоска