FB130 Репетитор по математике Федор Борисович Смирнов e-mail: repetitorFB@gmail.com

Готовлю к поступлению в 5 класс

Сильные школы ЮЗАО
Сильные школы ЗАО
Сильные школы СВАО
Сильные школы ЮАО

Ежедневная олимпиадная задача с решением – 29 октября

Условие задачи

Круглый торт весом в 1 кг разрезан на части прямолинейными разрезами. Известно, что два из этих разрезов проходят через центр торта, а третий не проходит. Докажите, что вес по крайней мере одной из получившихся частей составляет не менее 1/6 кг.

Эта задача предлагалась 8-классникам на заочной математической олимпиаде им. А.А. Леманского 19-27 октября 2012 года.

Решение задачи

Два разреза, проходящие через центр, делят его на  4 куска, которые попарно равны.

торт-1

Третий разрез  не проходит через центр, поэтому он может пересекать либо один из первых двух разрезов, либо оба.

Случай 1. Третий разрез пересекает только один разрез. Тогда  два куска (№1 и №2) остаются нетронутыми, а два других делятся каждый на две части.

торт-2

Два нетронутых куска в сумме составляют 1/2, поэтому по крайней мере один из них не меньше 1/4 (легко доказывается методом от противного или по принципу Дирихле), и соответственно, не меньше 1/6.

Случай 2. Третий разрез пересекает оба других разреза. Тогда только один из исходных кусков остается нетронутым (№2), а три остальных делятся каждый на две части.

торт-3

Если нетронутый кусок больше либо равен  1/6, мы получаем нужный результат. Если же он меньше 1/6,  то и равный ему кусок №4 меньше 1/6. И в сумме они составляют менее 2/6. Но тогда куски №1 и №3 (целиком, до того как третий разрез поделил их на части) в сумме составляют более 4/6.

После третьего разреза из кусков  №1 и №3 получилось 4 новых кусочка, общей массой более 4/6. Но это означает, что хотя бы один из этих кусочков будет не менее 1/6 (доказывается методом от противного или по принципу Дирихле).

Вам была полезна эта страница? Покажите ее своим знакомым и друзьям!

Я буду признателен, если вы отправите ссылку знакомым — тем, кому может пригодиться информация о подготовке к поступлению в сильные школы и к участию в математических олимпиадах

— —

Приглашение в математический кружок в Новых Черемушках

Ваш ребенок учится в 4 классе? Вы планируете поступать в хорошую гимназию? Математический кружок в Новых Черемушках — хороший способ подготовить ребенка ко вступительным экзаменам, а также к участию в математических олимпиадах. Подробнее о кружке и о занятиях.

Задания, которые выполняют мои ученики

Мы в Facebook

полоска присоединяйтесь
Добавляйтесь в друзья в Facebook. Матшкола Смирнова Заходите на страницу Школы в Facebook www.facebook.com/repetitorFedorSmirnovполоска